数学公式测试

要求 $$ 12\sin\alpha + 5\cos\alpha $$ 的极值，可以通过将其表示为一个三角函数的形式来解决。我们可以使用三角函数的合成方法。步骤如下：

1. 我们可以表示 $$ 12\sin\alpha + 5\cos\alpha $$ 为 $$ R\sin(\alpha + \phi) $$ 的形式，其中 $$ R $$ 和 $$ \phi $$ 是常数。

2. 根据三角函数的合成公式，可以得到：
   ```katex
   12\sin\alpha + 5\cos\alpha = R\sin(\alpha + \phi)
   ```
   其中 $$ R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 $$。

3. 这样，我们可以将原式转换为 $$ 13\sin(\alpha + \phi) $$。

4. 由于正弦函数的值域是 $$[-1, 1]$$，所以 $$ 13\sin(\alpha + \phi) $$ 的极值范围是：
   ```katex
   -13 \leq 13\sin(\alpha + \phi) \leq 13
   ```

$$\cl(A)$$

因此，$$ 12\sin\alpha + 5\cos\alpha $$ 的最大值是 13，最小值是 -13。

当然！以下是根据不同数学领域重新整理的一些常见数学符号及其含义：

### 基本数学符号
- **$+$, $-$, $\times$, $\div$**: 加法、减法、乘法、除法。
- **$=$, $\ne$, $<$, $>$, $\le$, $\ge$**: 等于、不等于、小于、大于、小于等于、大于等于。
- **$\in$, $\notin$**: 属于、不属于。
- **$\forall$, $\exists$**: 对所有（全称量词）、存在（存在量词）。
- **$|a|$**: 绝对值。

### 集合论
- **$\emptyset$**: 空集。
- **$\subset$, $\subseteq$**: 真子集、子集。
- **$\cup$, $\cap$**: 并集、交集。
- **$\setminus$**: 差集。
- **$\mathcal{P}(X)$**: 幂集。

### 函数与微积分
- **$f(x)$**: 函数。
- **$f'(x)$ 或 $\frac{d}{dx}f(x)$**: 导数。
- **$\int_a^b f(x)\,dx$**: 定积分。
- **$\sum_{i=1}^n a_i$**: 求和。
- **$\prod_{i=1}^n a_i$**: 求积。
- **$\nabla$**: 梯度。
- **$\partial, \frac{\partial f}{\partial x}$**: 偏导数。

### 线性代数
- **$\mathbf{A}$**: 矩阵。
- **$\mathbf{v}$**: 向量。
- **$\mathbf{A}^T$**: 矩阵转置。
- **$\det(\mathbf{A})$**: 矩阵的行列式。
- **$\lambda$**: 特征值。

### 代数
- **$\oplus$**: 直和。
- **$\otimes$**: 张量积。
- **$\cong$**: 同构。
- **$\left| G \right|$**: 群的阶。

### 微分方程
- **$\nabla^2$ 或 $\Delta$**: 拉普拉斯算子。
- **$\ddot{y}$**: 加速度。

### 拓扑学
- **$\partial$**: 边界。
- **$\cl(A)$**: 闭包。
- **$\int(A)$**: 内部。
- **$\mathcal{T}$**: 拓扑。

### 代数几何
- **$\mathbb{A}^n$**: 仿射空间。
- **$\mathbb{P}^n$**: 射影空间。
- **$\mathcal{O}$**: 结构层。
- **$V(I)$**: 仿射簇。

### 数论
- **$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$**: 整数、有理数、实数、复数集合。
- **$a \equiv b \pmod{n}$**: 同余关系。
- **$\pi(x)$**: 素数计数函数。
- **$\varphi(n)$**: 欧拉函数。
- **$d(n)$**: 约数函数。

### 概率与统计
- **$\Pr(A)$**: 事件 $A$ 的概率。
- **$\mathbb{E}[X]$**: 数学期望。
- **$\text{Var}(X)$**: 方差。
- **$\sigma(X)$**: 标准差。

### 泛函分析
- **$H^1, L^p$**: 索博列夫空间、$L^p$ 空间。
- **$\| \cdot \|$**: 范数。
- **$\langle \cdot , \cdot \rangle$**: 内积。

### 多复变量
- **$\mathbb{C}^n$**: $n$ 维复数空间。
- **$\partial/\partial z_i$**: 复偏导数。
- **$\bar{\partial}$**: $\bar{\partial}$算子。

### 逻辑与集合论
- **$\Rightarrow$**: 蕴涵。
- **$\Leftrightarrow$**: 等价。
- **$\neg$, $\wedge$, $\vee$**: 否定、逻辑与、逻辑或。

### 其他
- **$\infty$**: 无穷大。
- **$\cdots, \ldots$**: 省略号。
- **$\therefore$**: 因此。
- **$\because$**: 因为。

希望这些整理过的符号对你理解和应用有所帮助。如果你需要更多具体的符号或有特定的问题，请随时告诉我！